ГлавнаяОткрытый урок Прогрессии
Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность заданная соотношениями

bn+1 =bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0

q – знаменатель прогрессии

Формула - знаменатель прогрессии равен

Геометрическая последовательность является возрастающей, если b1 > 0, q > 1,

Например, 1, 3, 9, 27, 81,....

Геометрическая последовательность является убывающей, если b1 > 0, 0 < q < 1

Например, Убывыющая геометрическая прогрессия

Формула n-го члена геометрической прогрессии

bn = b1 · q n-1

Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого  (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

bn2 = bn-1 · b n+1

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

Основные определения и данные для геометрической прогрессии сведенные в одну таблицу:

Определение геометрической прогрессии

bn+1 =bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0

Знаменатель  геометрической прогрессии

Формула - знаменатель прогрессии равен
Формула n-го члена   геометрической  прогрессии bn = b1 · q n-1
Сумма n первых членов   геометрической  прогрессии Сумма n первых членов геометрической прогрессии равнаСумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна
Характеристическое свойство  геометрической  прогрессии bn2 = bn-1 · b n+1

Пример 1.

Дана геометрическая прогрессия b1, b2, b3, ..., bn, ... .

Известно, что b1 = 2/3,  q = - 3. Найти b6

Решение. В этом случае в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии.

Подставив в эту формулу n = 6 получим:

b6 = b1 · q5 = 2/3 · (-3)5 = -162

Ответ -162.

Пример 2.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3 , …

Решение

b1= 12, b2= 4,

q = 4/12 = 1/3

S = 12 / (1 - 1/3) =  12 / (2/3) = 12 · 3 / 2  = 18

Ответ 18.

Пример 3.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150.

Найти b1, если q = 1/3

Решение

Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

150 = b1 / (1- 1/3)

b1 = 150· 2/3

b1= 100

Ответ 100.

Блок рекомендуемого контента
Понравился сайт поделись с друзьями
и добавь в закладки, нажми
Ctrl + d
Rt: 0.00477 sec / Fri, 20 Oct 2017 22:07:28